Soluções: Atividade/Lista Matemática (LOGARITMO) - Part. 1

          Olá, nesse "primeiro" post do blog iremos começar com a primeira parte da 2ª lista de exercícios de matemática do 3º bimestre. O principal assunto nessa lista é logaritmos, um assunto fácil, porém necessita de um pouco de atenção para saber qual operação usar em cada situação. Se você ainda não entende NADA de logaritmo, recomendo que dê uma olhada no assunto antes de ver esse post, pois aqui trataremos apenas das resoluções dos exercícios, e é bom entender pelo menos o básico para melhor compreensão das tais resoluções. Sem mais delongas, vamos brincar.

                                                       

Figura 1 - Imagem que representa a forma de resolver um logaritmo

      

          Questão 1. Determine o valor das expressões.

          a) log₂ [log₄256]                                                        b) log [log₃ (log 1000)]

          Para responder essa questão é necessário que os logaritmos sejam resolvidos de "dentro para fora" começando pela parte interna da equação. No caso da letra "a":  log₂ [log₄256]

            Deve-se começar resolvendo a parte interna da equação, nesse caso o que está dentro dos colchetes: [log₄256]. Resolver é bem simples, você deve transformar o logaritmando (256) em uma potência de base 4 (que é a base do logaritmo). Então, basicamente, para resolver um logaritmo você deve elevar um número à base do logaritmo para encontrar o logaritmando (como mostra a Figura 1). 

          Então, transformando 256 em potência de base 4: 256 = 4⁴

             log₄256 = X          Logo: 256 = 4^x

                                                                  4⁴ = 4^x

                                                                  X = 4.

          Nossa equação final é a seguinte: log₂ 4 = y

          Resolvendo: 2^y = 2² 

                                       y = 2.

          Resposta: log₂ [log₄256] = 2.

 

          Lembrando que é recomendado saber o básico de logaritmo antes de ler esse post, portanto se algo não ficou muito claro tente ler mais uma vez para entender ou volte do começo e procure fazer umas questões iniciais sobre logaritmo para ter certeza que entendeu o assunto. Agora que você já sabe como resolver questões de logaritmo podemos fazer as coisas de maneira mais direta. Letra "b": log [log₃ (log 1000)]

          Começando da parte interna da equação: (log 1000) = X.

          

          1000 = 10^x

          10³ = 10^x

             X = 3.

         
          Agora temos: log [log₃3]. Continuando a resolver a parte interna: log₃3 = 1.

          Equação final: log 1. Sabemos que quando uma base não vem representada na equação trata-se de um logaritmo de base 10. 

       log₁₀ 1 = y.
          10^y = 1
           y = 0.

          Resposta: log [log₃ (log 1000)] = 0.
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          Questão 2. Sejam log₃ 1/27 = x, log₄ 64 = y e log₈ 32 = z, então x + y + z é igual a:
           O primeiro passo para começar a resolver essa questão é encontrar os valores de x, y e z. Começando por "x", pelo que vimos até agora devemos fazer com que 1/27 (logaritmando) e 3 (base) sejam uma potência de mesma base, nesse caso, transformando 1/27 em potência de base 3:

          3^x = 1/27

          3^x = 1/3³

          3^x = 3^-3       

          x = -3

          Agora é só fazer esse mesmo processo com as outras duas incógnitas (y e z). Para encontrar o y, devemos transformar 64 em uma potência de base 4, por meio da fatoração:

          4^y = 64
          4^y = 4³
          y = 3

          Agora vamos encontrar o valor de z. Esse é um caso especial pois não podemos transformar 32 em uma potência de base 8, mas a regra é a mesma, temos que transformar o logaritmando (32) e a base (8) em uma potência de mesma base, e fazemos isso através da fatoração, transformando os dois números em potência de base 2.

      

          8^z = 32
          (2³)^z  = 2⁵
          3z = 5
          z = 5/3

          Já temos os valores das 3 incógnitas: x = -3, y = 3 e z = 5/3. Tudo o que temos que fazer agora é somar os 3 valores, como pede a questão.

          O valor de x + y + z é igual a: (-3) + 3 + 5/3 

          Resposta: 5/3.

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          Questão 3. O logaritmo de certo número em determinada base é igual a 4, e o logaritmo desse mesmo número com base igual ao triplo da anterior é igual a 2. Qual é esse numero?

          Para iniciar essa questão vamos organizar matematicamente os dados que a questão fornece:

"O logaritmo de certo número em determinada base é igual a 4", escreve-se: log_y X = 4.

"o logaritmo desse mesmo número com base igual ao triplo da anterior é igual a 2", escreve-se: log_3y X = 2.

          Temos: log_y X = 4 e log_3y X = 2.

          

          Então y⁴  = X e (3y)²  = X.

         Se temos o valor de X representado de duas formas diferentes, podemos igualar os dois para facilitar a resolução, portanto: y⁴ = (3y)².

    

          (y²)² = 9y²        

          y² = 9

          y = 3.

          Encontramos o valor de y, mas a questão pede o valor de X, e como pudemos ver um pouco mais acima: y⁴  = X.

 

         X = 3⁴

         X = 81

         Resposta: 81.
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          Questão 4. Tendo como referência o salário mínimo, um dia de trabalho numa cidade X é representado (em reais) pela equação log₂ 16 + log₃ 81 + log₄ 64 + log₅ 25 + log 100. Sendo o mês comercial de 30 dias, qual o salário mínimo dessa cidade?

          Essa é uma questão é bem simples de ser resolvida, basta encontrar o valor do resultado de cada logaritmo e somá-los depois, então você terá encontrado o valor, em reais, de um dia de trabalho nessa cidade. No final basta multiplicar esse resultado por 30 e então encontraremos o valor  de um salário mínimo.

          
          Para não haver muita enrolação vamos diretamente aos valores de cada logaritmo, já que anteriormente foi ensinado como calculá-los:

          log₂ 16 = 4.
          log₃ 81 = 4.
          log₄ 64 = 3.
          log₅ 25 = 2.
          log 100 = 2.

Logo:
          log₂ 16 + log₃ 81 + log₄ 64 + log₅ 25 + log 100 = 4 + 4 + 3 + 2 + 2 = 15.

          Esse é o valor de um dia de trabalho nessa cidade, agora tudo o que se tem que fazer é multiplicar esse valor por 30 (o mês comercial) e encontrar o valor do salário mínimo: 

          30*15 = 450.

          Resposta: R$ 450,00.
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          Questão 5. Se log₁₆ X = -1/2, então o valor de X é:
          Resolver essa questão também é muito simples, basta elevar 16 à -1/2 para encontrar o valor de X.

          X = 16<sup>-1/2 
             X = (1/16)1/2  = √1/16  = 1/4. 

          Resposta: 1/4.

          Simples, não? Essa foi a primeira parte da atividade de logaritmos, aguarde que em breve a segunda parte da lista será disponibilizada, enquanto isso você pode tentar fazê-la e apenas confirmar suas respostas aqui. Isso é tudo por enquanto, valeu!!</sup>

                                         ^{Redigido por: Vladzin}