Soluções: Atividade/Lista Matemática (LOGARITMO) - Part. 2

          Olá, essa é a segunda parte da lista de exercícios de logaritmos. Se você ainda não viu a parte 1 dessa atividade clique aqui para acessar e ver a resolução das questões 1 à 5. Aqui iremos resolver as questões de 6 à 10 da atividade. Vamos ao trabalho!!

 

Figura 1 - Imagem que representa a forma de resolver um logaritmo

          Questão 6. (Unifor - CE) O número x, tal que x = 2^{3 + log}2 ³ + 3^{2 + log}3 ² é igual a:

          Para resolvermos esta questão, temos que saber que assim como podemos resolver os logaritmos, transformando-os em números, podemos fazer o processo inverso (transformar os números em logaritmos). Temos que resolver primeiramente os expoentes. Em ^{3 + log}2 ³ , temos que transformar o 3 em um logaritmo de base 2, ficando log₂ y = 3, transformando em potência fica        2³ = y, logo temos y = 8. No final temos o expoente de 2 como log₂ 8 + log₂ 3, pela regra dos logaritmos que diz que log_a b + log_a c = log_a (bc), temos:
          log₂ (8*3)

          log₂  24

           Agora temos que repetir o processo para o expoente de 3: ^{(2 + log}3 ²), temos que transformar 2 em uma potencia de base 3, tendo log₃ z =2, transformando em potência fica 3² = z, logo temos z = 9. Assim temos o expoente de 3 com: log₃ 9 + log₃ 2. Pela mesma regra usada anteriormente, temos o logaritmo:            
          log₃ (9*2)

          log_{3  18} 

          Nesse momento temos a equação x = 2^log₂²⁴  +  3^log₃¹⁸ , para prosseguirmos com nossa resolução temos que saber outra propriedade de logaritmo, que caso um número seja elevado a um logaritmo e a base desse logaritmo for igual à o número que está sendo elevado, o resultado da potência será igual à o logaritmando (sei que está meio confuso, por isso espero que este exemplo ajude: a^log_ab = b), portanto temos que:  x = 24 + 18 = 42

          Resposta: 42.
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          Questão 7. Se a > 0 e b > 0, considere as afirmações:

          I) log (ab) = log a + log b

         II) log (a + b) = log a*log b

        III) log 1 = 0

          Para resolver esta questão, temos que resolver um caso por vez. No primeiro caso, diz que 

log (ab) = log a + log b, o que se aplica na regra de que o logaritmo da multiplicação de dois termos pode ser representado pela soma dos logaritmos de cada termo, portanto é uma sentença verdadeira.

          O segundo caso, diz o inverso do primeiro. log (a + b) = log a*log b, porém esta regra só se aplica à multiplicação, portanto esta é uma sentença falsa.

          No terceiro e último caso, vemos que log 1 = 0 (vale lembrar que quando a base do logaritmo não for mencionada, significa que é uma base de valor 10), este logaritmo é equivalente à potência

10⁰ = 1, como sabemos, qualquer número elevado à 0 é igual à 1, portanto a terceira sentença é verdadeira.

          Resposta: As sentenças verdadeiras são I e III.
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          Questão 8. Dados log_a x = 2, log_a y = -3 e log_a z = ½, aplique as propriedades dos logaritmos para calcular o valor de:
          a)      log_a (x²y)
          b)      log_a (yz)²
          c)       log_a (xz^1/2)
          d)      log_a (xy/z)

Essa também é simples de ser resolvida, porém exige um pouco de atenção. Como o próprio enunciado diz, vamos utilizar de propriedades dos logaritmos para organizar cada equação de forma adequada e encontrar os valores correspondentes a cada uma. Letra “a”: log_a (x²y).

Vimos na questão anterior que o logaritmo da multiplicação de dois termos (log_a (x²y)) pode ser representado por uma soma dos logaritmos de cada termo.

Nesse caso: log_a (x²y) = log_a x² + log_a y.

Podemos pegar o expoente do logaritmando e trazer para o início do logaritmo em forma de multiplicação:

log_a x² + log_a y = 2*log_a  x + log_a y = 2*2 + (-3) = 1.

Resposta: 1.

Nesse próximo quesito utilizaremos as mesmas propriedades do quesito anterior. Letra “b”: log_a (yz)².

Agora é só fazer a mesma coisa da letra “a”, vamos representar esse mesmo logaritmo em forma de soma para facilitar a resolução.

Sendo assim: log_a (yz)² = log_a y² + log_a z².

log_a y² + log_a z² = 2*log_a y + 2*log_a z = 2*(-3) + 2*1/2 = -6 + 1 = -5.

Resposta: -5.

Na letra “c” (log_a (xz^1/2)) as propriedades a serem utilizadas também serão as mesmas, vamos fazer com que essa multiplicação se transforme numa soma de dois logaritmos e trazer o expoente em z para o início do logaritmo em forma de multiplicação. Letra “c”: log_a (xz^1/2).

Logo: log_a (xz^1/2) = log_a x + log_a z^1/2.

log_a x + log_a z^1/2 = log_a x + 1/2*log_a z = 2 + 1/2*1/2 = 2 + 1/4 = 9/4.

Resposta: 9/4.

É bom que você dê uma olhada nas propriedades dos logaritmos para compreender melhor essa questão, não são muitas e são bem fáceis de entender, vale a pena conferir. Letra “d”: log_a (xy/z).

Nesse último quesito vamos ver uma nova propriedade, porém não é muito diferente das que já foram vistas aqui nem tampouco mais difícil. A divisão dos termos xy/z em log_a (xy/z) pode ser representada pela subtração do logaritmo de cada termo, assim sendo, obtemos a seguinte equação: log_a (xy) - log_a z.

Desenvolvendo a equação: log_a (xy) - log_a z = log_a x + log_a y - log_a z.

log_a x + log_a y - log_a z = 2 + (-3) – 1/2 = -3/2.

Resposta: -3/2.
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          Questão 9. Utilizando as propriedades dos logaritmos, determine o valor de A em cada item:

         

          a) A = log 30 + log 7 - log 21                                 b) A = 2log₂10 – log₂25

           
               a) Resolver esta questão vai ser fácil para quem viu e compreendeu as questões anteriores e propriedades de logaritmo presentes nelas. Deixando de enrolação, vamos começar a questão. Vamos usar a propriedade de que a soma de dois logaritmos de mesma base pode ser representado por um logaritmo tendo como logaritmando a multiplicação dos dois logaritmandos anteriores. 

          A = log (30*7) - log 21                           
          A = log 210 - log 21

          Agora usaremos outra propriedade, bem parecida com a primeira. Esta diz que a subtração de dois logaritmos de mesma base pode ser representado por um logaritmo tendo como logaritmando a divisão dos dois logaritmandos anteriores.
          A = log (210\21)                                       

          A = log 10.

          Lembrando que quando a base não é mencionada ela é 10. Então transformamos o logaritmo em potência e obtemos:

          10^x = 10

           x = 1

          Resposta: A = 1.

          b) Para resolver esta questão, devemos relembrar de outra propriedade (log_a b^c = c * log_a b). Temos a expressão A = 2log₂10 – log₂25, onde faremos o inverso da propriedade mostrada acima, passando o dois para o expoente do 10.

          A = log₂ 10² – log₂ 25
          A = log₂ 100 – log₂ 25

           Depois de feito isso, usaremos novamente a propriedade logaritmica (da divisão) usada no item "a" desta mesma questão.

          A = log₂ (100\25)                        
          A= log₂ 4 _{= 2.}

          Resposta: A = 2.

  

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Questão 10. Admitindo-se que log₅ 2 = 0,43 e log₅ 3 = 0,68; obtém-se para log₅ 12 o valor:

Como já foi visto anteriormente aqui as propriedades dos logaritmos precisam, às vezes, serem aplicadas de uma forma um pouco diferente para resolver determinadas questões. Sabemos que log_a (bc) pode ser representado por: log_a b + log_a c. Então, o que temos que fazer para resolver essa questão é fatorar o número 12 para transformá-lo em uma multiplicação e então encontrar o resultado.

Dessa forma: log₅ 12 = log₅ (2²*3).

log₅ 12 = log₅ (2²*3)

log₅ 12 = log₅ 2² + log₅ 3

log₅ 12 = 2*log₅ 2 + log₅ 3

log₅ 12 = 2*0,43 + 0,68 = 1,54.

Resposta: 1,54.

Essa foi a segunda e última parte da lista de exercícios de matemática sobre logaritmos, agora é só resolver a sua. Caso não tenha entendido alguma parte ou quiser pedir a resolução de alguma questão ou atividade deixe nos comentários que estaremos respondendo o mais rápido possível. Isso é tudo pessoal, valeu!!

Redigido por: Bazinga e Vladzin.